一、简介

1.2 机器学习是什么？

近一点的定义，由Tom Mitchell提出，来自卡内基梅隆大学，Tom定义的机器学习是，一个好的学习问题定义如下，他说，一个程序被认为能从经验E中学习，解决任务T，达到性能度量值P，当且仅当，有了经验E后，经过P评判，程序在处理T时的性能有所提升。我认为经验E 就是程序上万次的自我练习的经验而任务T 就是下棋。性能度量值P呢，就是它在与一些新的对手比赛时，赢得比赛的概率。

1.3 监督学习

横轴表示房子的面积，单位是平方英尺，纵轴表示房价，单位是千美元。那基于这组数据，假如你有一个朋友，他有一套750平方英尺房子，现在他希望把房子卖掉，他想知道这房子能卖多少钱。

房价预测.png

我们应用学习算法，可以在这组数据中画一条直线，或者换句话说，拟合一条直线，根据这条线我们可以推测出，这套房子可能卖$150,000，当然这不是唯一的算法。可能还有更好的，比如我们不用直线拟合这些数据，用二次方程去拟合可能效果会更好。根据二次方程的曲线，我们可以从这个点推测出，这套房子能卖接近$200,000。

可以看出，监督学习指的就是我们给学习算法一个数据集。这个数据集由“正确答案”组成。在房价的例子中，我们给了一系列房子的数据，我们给定数据集中每个样本的正确价格，即它们实际的售价然后运用学习算法，算出更多的正确答案。比如你朋友那个新房子的价格。用术语来讲，这叫做回归问题。我们试着推测出一个连续值的结果，即房子的价格。

一般房子的价格会记到美分，所以房价实际上是一系列离散的值，但是我们通常又把房价看成实数，看成是标量，所以又把它看成一个连续的数值。

回归这个词的意思是，我们在试着推测出这一系列连续值属性。

假设说你想通过查看病历来推测乳腺癌良性与否，假如有人检测出乳腺肿瘤，恶性肿瘤有害并且十分危险，而良性的肿瘤危害就没那么大，所以人们显然会很在意这个问题。

肿瘤.png

让我们来看一组数据：这个数据集中，横轴表示肿瘤的大小，纵轴上，我标出1和0表示是或者不是恶性肿瘤。我们之前见过的肿瘤，如果是恶性则记为1，不是恶性，或者说良性记为0。

我有5个良性肿瘤样本，在1的位置有5个恶性肿瘤样本。现在我们有一个朋友很不幸检查出乳腺肿瘤。假设说她的肿瘤大概这么大，那么机器学习的问题就在于，你能否估算出肿瘤是恶性的或是良性的概率。用术语来讲，这是一个分类问题。

分类指的是，我们试着推测出离散的输出值：0或1良性或恶性，而事实上在分类问题中，输出可能不止两个值。比如说可能有三种乳腺癌，所以你希望预测离散输出0、1、2、3。0 代表良性，1 表示第1类乳腺癌，2表示第2类癌症，3表示第3类，但这也是分类问题。

因为这几个离散的输出分别对应良性，第一类第二类或者第三类癌症，在分类问题中我们可以用另一种方式绘制这些数据点。

现在我用不同的符号来表示这些数据。既然我们把肿瘤的尺寸看做区分恶性或良性的特征，那么我可以这么画，我用不同的符号来表示良性和恶性肿瘤。或者说是负样本和正样本现在我们不全部画X，良性的肿瘤改成用 O 表示，恶性的继续用 X 表示。来预测肿瘤的恶性与否。

在其它一些机器学习问题中，可能会遇到不止一种特征。举个例子，我们不仅知道肿瘤的尺寸，还知道对应患者的年龄。在其他机器学习问题中，我们通常有更多的特征，我朋友研究这个问题时，通常采用这些特征，比如肿块密度，肿瘤细胞尺寸的一致性和形状的一致性等等，还有一些其他的特征。这就是我们即将学到最有趣的学习算法之一。

那种算法不仅能处理2种3种或5种特征，即使有无限多种特征都可以处理。

3.png

上图中，我列举了总共5种不同的特征，坐标轴上的两种和右边的3种，但是在一些学习问题中，你希望不只用3种或5种特征。相反，你想用无限多种特征，好让你的算法可以利用大量的特征，或者说线索来做推测。那你怎么处理无限多个特征，甚至怎么存储这些特征都存在问题，你电脑的内存肯定不够用

监督学习其基本思想是，我们数据集中的每个样本都有相应的“正确答案”。再根据这些样本作出预测，就像房子和肿瘤的例子中做的那样。回归问题，即通过回归来推出一个连续的输出，分类问题，其目标是推出一组离散的结果。

1.4 无监督学习

在无监督学习中，我们已知的数据。看上去有点不一样，不同于监督学习的数据的样子，即无监督学习中没有任何的标签或者是有相同的标签或者就是没标签。所以我们已知数据集，却不知如何处理，也未告知每个数据点是什么。别的都不知道，就是一个数据集。你能从数据中找到某种结构吗？针对数据集，无监督学习就能判断出数据有两个不同的聚集簇。这是一个，那是另一个，二者不同。是的，无监督学习算法可能会把这些数据分成两个不同的簇。所以叫做聚类算法。事实证明，它能被用在很多地方。

聚类应用的一个例子就是在谷歌新闻中。如果你以前从来没见过它，你可以到这个URL网址news.google.com去看看。谷歌新闻每天都在，收集非常多，非常多的网络的新闻内容。它再将这些新闻分组，组成有关联的新闻。所以谷歌新闻做的就是搜索非常多的新闻事件，自动地把它们聚类到一起。所以，这些新闻事件全是同一主题的，所以显示到一起。

DNA.png

其中就有基因学的理解应用。一个DNA微观数据的例子。基本思想是输入一组不同个体，对其中的每个个体，你要分析出它们是否有一个特定的基因。技术上，你要分析多少特定基因已经表达。所以这些颜色，红，绿，灰等等颜色，这些颜色展示了相应的程度，即不同的个体是否有着一个特定的基因。你能做的就是运行一个聚类算法，把个体聚类到不同的类或不同类型的组（人）……

所以这个就是无监督学习，因为我们没有提前告知算法一些信息，比如，这是第一类的人，那些是第二类的人，还有第三类，等等。我们只是说，是的，这是有一堆数据。我不知道数据里面有什么。我不知道谁是什么类型。我甚至不知道人们有哪些不同的类型，这些类型又是什么。但你能自动地找到数据中的结构吗？就是说你要自动地聚类那些个体到各个类，我没法提前知道哪些是哪些。因为我们没有给算法正确答案来回应数据集中的数据，所以这就是无监督学习。

二、单变量线性回归(Linear Regression with One Variable）

2.1 模型选择

以之前的房屋交易问题为例，假使我们回归问题的训练集（Training Set）如下表所示：

我们将要用来描述这个回归问题的标记如下:

$m$ 代表训练集中实例的数量

$x$ 代表特征/输入变量

$y$ 代表目标变量/输出变量

$\left( x,y \right)$ 代表训练集中的实例

$({{x}^{(i)} },{{y}^{(i)}})$ 代表第$i$ 个观察实例

$h$ 代表学习算法的解决方案或函数也称为假设（hypothesis）

这就是一个监督学习算法的工作方式，我们可以看到这里有我们的训练集里房屋价格

我们把它喂给我们的学习算法，学习算法的工作了，然后输出一个函数，通常表示为小写 $h$ 表示。$h$ 代表hypothesis(假设)，$h$表示一个函数，输入是房屋尺寸大小，就像你朋友想出售的房屋，因此 $h$ 根据输入的 $x$值来得出 $y$ 值，$y$ 值对应房子的价格 因此，$h$ 是一个从$x$ 到 $y$ 的函数映射。

$h_\theta \left( x \right)=\theta_{0} + \theta_{1}x$，因为只含有一个特征/输入变量，因此这样的问题叫作单变量线性回归问题。

2.2 代价函数

公式：$J \left( \theta_0, \theta_1 \right) = \frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^m \left( h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)} \right)^{2}$

linear regression

Goal is to minimize the cost function,因为当代价函数最小时代表你的假设函数预测值跟实际值相差最小，就可以看做这个 model 能较好的拟合数据，预测结果。

2.3 梯度下降

梯度下降是一个用来求函数最小值的算法，我们将使用梯度下降算法来求出代价函数$J(\theta_{0}, \theta_{1})$ 的最小值。

梯度下降背后的思想是：开始时我们随机选择一个参数的组合$\left( {\theta_{0}},{\theta_{1}},……,{\theta_{n}} \right)$，计算代价函数，然后我们寻找下一个能让代价函数值下降最多的参数组合。我们持续这么做直到找到一个局部最小值（local minimum），因为我们并没有尝试完所有的参数组合，所以不能确定我们得到的局部最小值是否便是全局最小值（global minimum），选择不同的初始参数组合，可能会找到不同的局部最小值。

gradient

想象一下你正站立在山的这一点上，站立在你想象的公园这座红色山上，在梯度下降算法中，我们要做的就是旋转360度，看看我们的周围，并问自己要在某个方向上，用小碎步尽快下山。这些小碎步需要朝什么方向？如果我们站在山坡上的这一点，你看一下周围，你会发现最佳的下山方向，你再看看周围，然后再一次想想，我应该从什么方向迈着小碎步下山？然后你按照自己的判断又迈出一步，重复上面的步骤，从这个新的点，你环顾四周，并决定从什么方向将会最快下山，然后又迈进了一小步，并依此类推，直到你接近局部最低点的位置。

批量梯度下降（batch gradient descent）算法的公式为：

batch gradient descent

对我们之前的线性回归问题运用梯度下降法，关键在于求出代价函数的导数，即：

$\frac{\partial }{\partial { {\theta }{j}} }J({ {\theta }{0} },{ {\theta }{1} })=\frac{\partial }{\partial { {\theta }{j} } }\frac{1}{2m}{ {\sum\limits_{i=1}^{m}{\left( { {h}_{\theta } }({ {x}^{(i)} })-{ {y}^{(i)} } \right)} }^{2} }$​

$j=0$ 时：$\frac{\partial }{\partial { {\theta }{0} } }J({ {\theta }{0} },{ {\theta }{1} })=\frac{1}{m}{ {\sum\limits{i=1}^{m}{\left( {{h}_{\theta } }({ {x}^{(i)} })-{ {y}^{(i)} } \right)} } }$ $j=1$ 时：$\frac{\partial }{\partial {{\theta }_{1}}}J({{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}})=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{\left( \left( {{h}_{\theta }}({{x}^{(i)}})-{{y}^{(i)}} \right)\cdot {{x}^{(i)}} \right)}$

则算法改写成：

Repeat {

​ ${\theta_{0}}:={\theta_{0}}-a\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{ \left({{h}_{\theta }}({{x}^{(i)}})-{{y}^{(i)}} \right)}$

​ ${\theta_{1}}:={\theta_{1}}-a\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{\left( \left({{h}_{\theta }}({{x}^{(i)}})-{{y}^{(i)}} \right)\cdot {{x}^{(i)}} \right)}$

​ }

三、多变量线性回归(Linear Regression with Multiple Variables)

3.1 多维特征

我们探讨了单变量/特征的回归模型，现在我们对房价模型增加更多的特征，例如房间数楼层等，构成一个含有多个变量的模型，模型中的特征为$\left( {x_{1}},{x_{2}},…,{x_{n}} \right)$。

增添更多特征后，我们引入一系列新的注释：

$n$ 代表特征的数量

${x^{\left( i \right)}}$代表第 $i$ 个训练实例，是特征矩阵中的第$i$行，是一个向量（vector）。

${x}_{j}^{\left( i \right)}$代表特征矩阵中第 $i$ 行的第 $j$ 个特征，也就是第 $i$ 个训练实例的第 $j$ 个特征。

支持多变量的假设 $h$ 表示为：$h_{\theta}\left( x \right)={\theta_{0}}+{\theta_{1}}{x_{1}}+{\theta_{2}}{x_{2}}+…+{\theta_{n}}{x_{n}}$，

这个公式中有$n+1$个参数和$n$个变量，为了使得公式能够简化一些，引入$x_{0}=1$，则公式转化为：$h_{\theta} \left( x \right)={\theta_{0}}{x_{0}}+{\theta_{1}}{x_{1}}+{\theta_{2}}{x_{2}}+…+{\theta_{n}}{x_{n}}$

此时模型中的参数是一个$n+1$维的向量，任何一个训练实例也都是$n+1$维的向量，特征矩阵$X$的维度是 $m*(n+1)$。 因此公式可以简化为：$h_{\theta} \left( x \right)={\theta^{T}}X$，其中上标$T$代表矩阵转置。

3.2 多变量梯度下降

与单变量线性回归类似，在多变量线性回归中，我们也构建一个代价函数，则这个代价函数是所有建模误差的平方和，即：$J\left( {\theta_{0}},{\theta_{1}}…{\theta_{n}} \right)=\frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{{\left( h_{\theta} \left({x}^{\left( i \right)} \right)-{y}^{\left( i \right)} \right)}^{2}}}$ ，

其中：$h_{\theta}\left( x \right)=\theta^{T}X={\theta_{0}}+{\theta_{1}}{x_{1}}+{\theta_{2}}{x_{2}}+…+{\theta_{n}}{x_{n}}$ ，

我们的目标和单变量线性回归问题中一样，是要找出使得代价函数最小的一系列参数。

多变量线性回归的批量梯度下降算法为：

1

注：${x_{0}}$ = 1

我们开始随机选择一系列的参数值，计算所有的预测结果后，再给所有的参数一个新的值，如此循环直到收敛。计算代价函数

$J\left( \theta \right)=\frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{{\left( {h_{\theta}}\left( {x^{(i)}} \right)-{y^{(i)}} \right)}^{2}}}$

其中：${h_{\theta}}\left( x \right)={\theta^{T}}X={\theta_{0}}{x_{0}}+{\theta_{1}}{x_{1}}+{\theta_{2}}{x_{2}}+…+{\theta_{n}}{x_{n}}$

Python 代码：

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import numpy as np
def cost_fuction(X, y, theta):
    '''
    theat.T 代表 theta 矩阵的转置
    @ 矩阵乘法
    '''
    inner = np.power(((theta.T @ X) - y), 2)
    return np.sum(inner) / (2 * len(X))

3.3 特征缩放

我们面对多维特征问题的时候，我们要保证这些特征都具有相近的尺度，这将帮助梯度下降算法更快地收敛。

以房价问题为例，假设我们使用两个特征，房屋的尺寸和房间的数量，尺寸的值为 0-2000平方英尺，而房间数量的值则是0-5，以两个参数分别为横纵坐标，绘制代价函数的等高线图能，看出图像会显得很扁，梯度下降算法需要非常多次的迭代才能收敛。解决的方法是尝试将所有特征的尺度都尽量缩放到-1到1之间。如图：

feature_scaling

最简单的方法是令：${{x}_{n}}=\frac{{{x}_{n}}-{{\mu}_{n}}}{{{s}_{n}}}$，其中 ${\mu_{n}}$是平均值，${s_{n}}$是标准差。

注：梯度下降算法的每次迭代受到学习率的影响，如果学习率$a$过小，则达到收敛所需的迭代次数会非常高；如果学习率$a$过大，每次迭代可能不会减小代价函数，可能会越过局部最小值导致无法收敛。通常可以考虑尝试些学习率：

$\alpha=0.01，0.03，0.1，0.3，1，3，10$

Finish!

by Krimer